Les pondérations implicites des moyennes arithmétiques d'indices élémentaires

Dans le calcul de chacun de ses indices, Pierre Le Roy compense les évolutions positives et négatives variable par variable. Pour prendre un exemple, si un indicateur s'améliore de 20% tandis qu'un autre se détériore de 20%, il considère que l'indice considéré ne change pas de valeur. Cette pratique est erronée, comme tout élève le sait… au moins intuitivement.

Supposons que, lors des premiers contrôles, un élève ait obtenu la note de 12 dans une première matière et de 10 dans une seconde. Lors de la seconde série de contrôle, il constate que la première note s'est améliorée de 20% tandis que la seconde s'est dégradée de 20%. Malgré ce résultat très mitigé, il se réjouit.

Comme on peut le voir dans le tableau ci-dessous, il a raison car sa moyenne générale sur ces deux matières est passée de 11 à 11,2. En effet, l'augmentation de 20% porte sur une grandeur plus élevée (12) que la baisse du même pourcentage (qui porte sur la note de 10). D'un côté, il gagne 2,4 points (12 x 0,2 = 2,4) tandis que de l'autre, il ne perd que 2 points (10 x 0,2 = 2). Le gain net est de 0,4 point sur la somme des deux matières soit de 0,2 point en moyenne.

Pourtant, si l'élève avait eu l'idée de calculer les évolutions ligne par ligne, il aurait cru observer n'avoir pas progressé. Une augmentation de 20% se note 120 en indice ; une diminution de 20% se note symétriquement 80. La moyenne des deux est de 100 [(120 + 80)/2 = 100].

 

C'est pourtant ce que fait Pierre Le Roy. Pour le montrer, on retiendra deux indicateurs de la fracture mondiale qui paraissent s'équilibrer : l'espérance de vie à la naissance d'une part, la fracture culturelle de l'autre. D'après les estimations de P. Le Roy, l'augmentation de l'un (24,64%) est pratiquement compensé par la baisse de l'autre (– 21%) de sorte que le résultat est proche de l'équilibre : ici, la fracture mondiale se serait accru de 1,82%.

 

En réalité, ce mode de calcul revient à minorer l'importance relative du critère qui a la valeur absolue la plus élevée. Si l'on veut absolument que les deux critères aient une importance relative identique, on peut recommencer le calcul en introduisant explicitement une pondération de 50% pour chacun d'entre eux. C'est ce que l'on obtient en calculant une moyenne en colonne : l'écart moyen sur les deux critères est de 471,96% en t0 et de 382,87% en t1. Cette fois, la fracture mondiale a diminué de 18,88% (382,87/471,96*100 = 81,12%). 

Notons que ce mode de calcul donne des résultats aussi incohérents que l'addition de deux notes : quelle est la signification concrète d'avoir 10 de moyenne entre les mathématiques et le français du point de vue des connaissances de l'élève ? Que signifie avoir un écart moyen de 471% sur les deux critères ici étudiés du point de vue de la fracture sociale ? Mais la similitude des raisonnements permet de montrer que, dans la manière de calculer de P. Le Roy, l'influence sur la moyenne des grandeurs dont la valeur absolue est la plus élevée est sous-estimée. Pour le dire d'une autre façon, malgré les apparences, les coefficients de pondération des indicateurs qui comportent dix critères ne sont pas tous égaux et ne valent pas dix pour cent.

 

Partage